Может ли повлиять на индексацию будущего сайта в гугле?

Если случилось так, что гуглбот заиндексил свежезареганый домен, находящийся на парковочном днс и теперь высерает его в выдаче.

Интересно, не возникнут ли из-за этого проблемы с индексацией и с продвижением сайта, который будет в дальнейшем располагаться на этом домене?

нет не повлияет. Потом просто пройдет переиндексация и все, после нее можешь спокойно продвигать свой проект.

никак не повлияет, так что делай рес спокойно